Qu'est-ce que convergence en loi ?

La convergence en loi est un concept important en théorie des probabilités et en statistiques. Elle décrit la tendance d'une séquence de variables aléatoires à se rapprocher d'une autre variable aléatoire en termes de leur distribution ou de leur loi de probabilité.

Plus spécifiquement, on dit que les variables aléatoires X_n convergent en loi vers une variable aléatoire X s'il existe une fonction de distribution F telle que la suite de fonctions de distribution associée à X_n converge uniformément vers F.

En d'autres termes, cela signifie que plus la taille de l'échantillon est grande, plus la distribution de X_n se rapproche de celle de X. Cette convergence peut être utilisée pour démontrer des résultats clés en statistique, tels que la loi des grands nombres et le théorème central limite.

En pratique, lorsqu'on observe une séquence de variables aléatoires dans des échantillons, on peut utiliser la convergence en loi pour établir des conclusions sur la distribution de la variable aléatoire sous-jacente. Par exemple, si l'on observe la distribution de la hauteur d'un échantillon de personnes et que l'on observe une convergence en loi vers une distribution normale, cela implique que la hauteur des personnes suit en moyenne une distribution normale, ce qui peut aider à formuler des prédictions ou des modèles statistiques.